Fractalen
Wat zijn fractalen?
Het begrip fractalen is bedacht door de wiskun
dige B. Mandelbrot in de jaren zeventig en wordt
gebruikt voor meetkundige objecten met een zo
genaamde gebroken dimensie, vandaar de
naam. Dat betekent dat een fractaal bijvoorbeeld
te gekronkeld is om op een (eendimensionale) lijn
te lijken maar toch niet een tweedimensionaal
stukje van het vlak vult.
De interesse voor fractalen werd gemotiveerd
door voorbeelden uit de natuur, zoals bomen en
planten, rivieren, kustlijnen, wolken, sneeuw
kristallen en dergelijke. Het lijkt tegen het wezen
van deze dingen in te gaan om ze met lijnen, recht
hoeken, bollen, kortom met objecten van onge
broken dimensie, te willen beschrijven. De beoe
fenaars van de fractale meetkunde beweren inte
gendeel dat de natuur in wezen fractaal is en on
derzoeken allerlei fenomenen vanuit dit oogpunt.
Er is een groot aantal voorbeelden van fractalen in
de wiskunde. Ze worden gewoonlijk gecon
strueerd door een constructieregel herhaaldelijk
toe te passen met behulp van een computer.
Fractalen vertonen niet alleen een grote com
plexiteit maar ook orde, die in het algemeen door
herhaling van dezelfde structuren op verschillen
de schalen tot uitdrukking komt. Door deze com
binatie van orde en complexiteit worden fracta
len ook buiten de wiskunde enthousiast ontvan
gen. Door de verwantschap met natuurlijke ob
jecten, worden ze door sommigen zelfs als kunst
beschouwd.
De afbeeldingen in dit jaarverslag zijn uit de itera-
tietheorie afkomstig. Ze werden met een compu
ter berekend door te vragen wat er met punten
van het vlak gebeurt als een exponentiële functie
herhaaldelijk wordt toegepast afhankelijk van
een parameter. Voor deskundigen zij vermeld dat
er zowel afbeeldingen van het gedrag bij varië-
ring van de parameter als ook zogenaamde Julia-
verzamelingen opgenomen zijn, die het gedrag
vertonen bij variëring van de beginvoorwaarde
van iteratie.
Alle afbeeldingen zijn deel van een onderzoek
van drs. Bernd Krauskopf aan de Rheinisch
Westfälische Technische Hochschule Aachen;
de heer Krauskopf is thans wetenschappelijk
medewerker aan de Rijksuniversiteit Groningen.
pagina 20 en 21
Een wiskundig object
met verschillende me
thodes berekend. De
kijk op de wereld be
paalt wat men ziet
pagina 4
Verandering van de structuren door veran
dering van een parameter. Het samengaan
van orde en complexiteit intrigeert het oog.
pagina 25
Door kleuren toe te kennen worden belang
rijke eigenschappen benadrukt en ontstaat
er tegelijk een aantrekkelijk beeld.
pagina 6
Fractalen lijken vaak op natuurlijke objecten
en zijn een inspiratie voor de fantasie.
48 I Friesland Bank Jaarverslag 1992
